Рассмотрим процесс взаимодействия двух
химических веществ, концентрации которых
обозначим u( t ) и w( t ). Напишем
уравнения химической кинетикиПосле окончания МГУ я считал, что линейная
теория уравнений с частными производными
уже разработана. Новое надо искать в
нелинейностях.
Каково же было мое удивление, когда я
наткнулся на новую краевую задачу в
доменной печи!
Рассмотрим процесс взаимодействия двух
химических веществ, концентрации которых
обозначим u( t ) и w( t ). Напишем
уравнения химической кинетики
dt u = F( u, w
)
dt w = G( u, w )
об аналитическом выражении для F и G
до сих пор спорят химики.
Теперь рассмотрим химический реактор
противоточного типа - компонента u
движется со скоростью v1, а
компонента w движется ей навстречу со
скоростью v2. (В доменной печи
шихта движется сверху вниз, а газ снизу
вверх.) Получим гиперболическую систему
уравнений для u( t, x ) и w( t, x )
( ∂t - v1
* ∂x ) u = F( u, w )
( ∂t + v2 * ∂x ) w = G( u, w )
Мало кто из химиков (доменщиков) сомневается, что, если
выдерживать постоянные концентрации на
входе-выходе (при x = 0 и x = L), то
установится стационарный режим
- v1 * dx
U = F( U, W )
+ v2 * dx W = G( U, W )
для U( x ) и W( x ).
Но мы же математики. 
Нас интересует устойчивость этого режима.
Традиционная линеаризация u = U + p, w = W + q
даст нам
( ∂t
- v1 * ∂x
) p = ∂U
F( U, W ) * p + ∂W
F( U, W ) * q
( ∂t
+ v2 * ∂x
) q = ∂U
G( U, W ) * p + ∂W
G( U, W ) * q
и краевую задачу q( t, 0 ) = 0, p( t, L ) = 0.
И вот эта то задача и оказалась
нерассмотренной!
Перепишу уравнения в несколько менее
страшном 
виде
( ∂t - v1
* ∂x ) p = A( x ) * p + B( x ) * q
( ∂t + v2 * ∂x ) q = C( x ) * p + D(
x ) * q
Есть здесь и вырожденный случай: B( x ) = 0, C( x ) = 0 - система распадается на два независимых уравнения 1-го порядка. Решение с некоторого момента - тождественный нуль.
Я исследовал задачу на компьютере для различных v1, v2, A( x ), B( x ), C( x ), D( x ). Всюду наблюдал выход решения на функции типа
exp( μ * t ) * [ R( x ) * Cos( ν * t ) + S( x ) * Sin( ν * t ) ]
- это просто вещественная часть от exp[ ( μ + i * ν ) t ] * [ R( x ) - i * S( x ) ].
Рассмотрим некоторые примеры. Вот система
( ∂t - ∂x ) p =
- q
( ∂t + ∂x ) q = p
Ее можно свернуть в одно уравнение 2-го порядка
( ∂tt
- ∂xx
) p
= - p
А вот краевая
задача для него ставится довольно странная ( ∂t - ∂x ) p( t,
0 ) =0, p(
t, L ) = 0.
Возможно, в этом и
причина, что классики обошли эту задачу
своим вниманием.
Вот типичный пример эволюции решения (ось t - снизу вверх):
красные линии - p( t, x ) = 0,
синие линии - q( t, x ) = 0
Полагая
p = exp( μ * t ) * [ Rp( x ) * Cos( ν * t ) + Sp( x ) * Sin( ν * t ) ]
q = exp( μ * t ) * [ Rq( x ) * Cos( ν * t ) + Sq( x ) * Sin( ν * t ) ]
получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений 4-го порядка с четырьмя граничными условиями
Чем хороши линейные системы с постоянными коэффициентами? - Есть формула для решения. Обозначим вектор как Y( x ), матрицу как M, матрицу финального преобразования как K. Получим
Y( L ) = exp( M * L ) * Y( 0 ) = K * Y( 0 )
Какой
же должна быть матрица K, чтобы
обеспечить граничные условия? - С нулевым
минором в левом верхнем углу!
Вот и спектральная задача: найти такие μ и ν, чтобы этот минор был нулевым (при численном поиске "как можно ближе к нулевому"). Вот и результаты численного поиска
Видны три собственных значения. Отмечу, что здесь нет чисто вещественного собственного значения. В окрестности 1-го собственного значения матрица K ( μ ~ -0.49, ν ~ 1.69 ) получается примерно такой
| -0.0025 | 0.0023 | 0.0027 | -0.9946 |
| -0.0023 | -0.0025 | 0.9946 | 0.0027 |
| 0.0027 | -0.9946 | -3.3617 | -0.9814 |
| 0.9946 | 0.0027 | 0.9814 | -3.3617 |
А вот другая система
( ∂t - ∂x ) p
= q
( ∂t + ∂x ) q = p
приводит к спектру, где 1-ое собственное значение вещественно ( μ ~ +0.32, ν ~ 0.0 )
Очень похоже на
дискретный спектр. Естественна гипотеза:
существует
бесконечный дискретный спектр и система собственных
функций полна.
Здесь возникает естественный вопрос: как согласованным набором из Rp( x ) и Rq( x ) можно приблизить две произвольные функции p( 0, x ) и q( 0, x ) ? - Дело в том, что здесь одному собственному значению соответствуют два линейно независимых набора функций: тот, что указан выше, и
p = exp( μ * t ) * [ -Sp( x ) * Cos( ν * t ) + Rp( x ) * Sin( ν * t ) ]
q = exp( μ * t ) * [ -Sq( x ) * Cos( ν * t ) + Rq( x ) * Sin( ν * t ) ]
- это просто мнимые части от exp[ ( μ + i * ν ) t ] * [ R( x ) - i * S( x ) ].
Так что, имеется и
второй согласованный набор Sp( x ) и
Sq( x ).
Д.ф.-м.н. А.А.Шкаликов доказал полноту системы собственных функций для подобных уравнений, но доказательство пока не опубликовано.
