Волновое уравнение с нелинейной правой частью

Введение

Численное исследование задачи

Основная гипотеза

О доказательствах

Преимущества бризеров

ZIP-файлы

Введение

Исследуем численно решение задачи Коши для следующего уравнения

d P( u )

( ∂_tt - ∂_xx ) u = - ────── , 0 ≤ t < +∞

        u( 0, x ) = u₀( x );    ∂_t u( 0, x ) = v₀( x )

        u₀( x ) → -1 при x → -∞ ;   u₀( x ) → b при x → +∞,   b = ±1;

v₀( x ) - финитна;

P( u ) ≥ 0, P( -1 ) = P( +1 ) = 0

Определим плотность энергии

r( t, x ) = 0.5 * (∂_t u )² + 0.5 * (∂_x u )² + P( u )

Тогда энергия

+∞

E( t ) = ∫ r( t, x ) * dx = Const

                   -∞

Рассмотрим решения вида u( t, x ) = U( x - v * t ).
Получим уравнение
                                   d P( U )
        ( 1 - v² ) * U'' = ──────

Понижая порядок

( U' )² = 2 * P( U ) / ( 1 - v² )

На фазовой плоскости две особые точки U = -1 и U = +1.
Сепаратрисы, соединяющие эти точки, описывают кинки U' > 0 и антикинки U' < 0.

Таким образом, имеется два двухпараметрических семейства для U( x - v* t + c ).

Эти решения можно сталкивать между собой и налагать различные возмущения.

Численное исследование задачи

Мы рассматривали и классический потенциал P( u ) = 0.25 * ( u² - 1 )² и более сложные функции.

Вот типичная картина развития процесса: три кинка, имевшие скорости +0.9; -0.4 и 0.0 сталкиваются между собой, проходят друг сквозь друга и продолжают путь уже со скоростями +0.88; +0.02 и -0.24. Синие участки - там решение близко к -1, красные - решение близко к +1, желтые - окрестность нуля, белые - излучение, уходящее на бесконечность.

Вы можете сами поэкспериментировать с этими вычислениями, если скопируете WinProg.zip и выберете начальные условия 3kinks_1.we1.

Малые возмущения расплываются (см. начальные условия Dissip.we1) , что и соответствует линейной теории.

Основная гипотеза

В случае трех кинков мы видим, что после столкновения скорости сближаются. Естественно составить диаграмму перехода скоростей до столкновения и после. И вот здесь мы видим неожиданное - при близких скоростях кинки не проходят друг сквозь друга, а образуют устойчивое осциллирующее решение (желтая область рядом с гипотенузой). Такие решения называются бризерами.

Возьмите для программы начальные условия Pot1_briz.we1 и Вы получите бризер .

Т.е. между областью диссипации (описываемой линейной теорией), и областью сильных столкновений кинков (решения типа "бегущей волны") есть область бризеров - осциллирующих решений с устойчивой частотной характеристикой.

О доказательствах

Непонятно, как доказать их существование. Они слишком большие и не подлежат линейной теории (по которой их не должно бы и существовать ). Они не являются решением обыкновенного дифференциального уравнения в отличие от кинка. Как к ним подобраться аналитически?

Преимущества бризеров

Они с необходимостью возникают при столкновении большого числа кинков и антикинков - т.к. скорости сближаются.

Бризеры бывают разной амплитуды и энергии (от 0.48 до 1.16), т.к. в качестве начальных условий мы можем брать пару все более близких к друг другу кинков-антикинков.

Но если эта пара достаточна разделена друг от друга, то всегда возникает бризер с максимальной амплитудой и энергией, причем один и тот же для самых разных пар. Вот результаты спектрального анализа двух бризеров (первый - результат столкновения пары со скоростями 0.2 и 0.0, второй - пары 0.7 и 0.4) . Смещение частот объясняется способом измерения: фиксировались значения в центре бризера через равные интервалы времени. Но более быстрый бризер за одно и то же время пройдет и бОльшее расстояние и частота понизится.

ZIP-файлы